CAYLEY (A.)


CAYLEY (A.)
CAYLEY (A.)

Depuis le début du siècle dernier, chaque génération de mathématiciens a contribué à l’élaboration de l’algèbre moderne. Au XIXe siècle, le résultat le plus spectaculaire aux yeux des contemporains a sans doute été la constitution de la théorie des invariants ; cette idée unifiante, qui englobait sous une même forme algébrique les problèmes de la géométrie et certains problèmes de théorie des nombres, a remis en question la conception même de la géométrie. Si la théorie des invariants a, depuis, un peu perdu de son attrait, d’autres idées, en pleine gestation à l’époque, comme la théorie des groupes ou l’algèbre linéaire, ont influé de manière capitale sur l’évolution de l’algèbre. Les travaux d’Arthur Cayley, pendant la seconde moitié du siècle, ont beaucoup contribué à la construction de l’édifice.

Du droit aux mathématiques

Arthur Cayley, né à Richmond (Surrey), manifesta très tôt de vives dispositions pour les mathématiques. Cependant, malgré le grand intérêt de ses premières publications, il ne put s’imposer comme mathématicien; il décida de faire des études de droit et devint avocat en 1849. Pendant quatorze ans, il exerça ce métier tout en s’adonnant à des recherches scientifiques. C’est au cours de cette période qu’il se rapprocha de J. J. Sylvester. En 1863, Cayley est nommé professeur à Cambridge et peut enfin se consacrer entièrement aux mathématiques.

Dans l’ensemble de l’œuvre de Cayley, notamment dans ses travaux de jeunesse, est sensible l’influence des fondateurs de l’école algébrique anglaise (Peacock, Morgan, Gregory...) qui avaient formulé le programme de l’algèbre moderne en accordant une priorité marquée à l’approche formelle des problèmes; cette attitude facilitait la généralisation et conduisait à l’étude systématique des structures algébriques. Mathématicien lettré et créateur, Cayley, dans le sillage de l’école anglaise, sut élaborer de nouvelles et fructueuses théories.

Définition des groupes abstraits finis

La richesse de l’approche de Cayley apparaît dès ses premiers travaux sur la théorie des groupes (1854). Jusque-là, seuls les groupes de substitution étaient utilisés. Cayley, abordant les travaux de Galois, Gauss et Cauchy avec les méthodes des algébristes anglais, donne une définition des groupes abstraits; en fait, sa définition ne convient que pour les groupes finis. Pour Cayley, un groupe est un ensemble de «symboles», dans lequel est définie une opération de multiplication et ce sont les produits de deux éléments qui constituent les éléments du groupe; cette opération est supposée associative mais pas nécessairement commutative; le groupe est supposé contenir un élément unité et, en multipliant le groupe entier par un élément quelconque (à droite ou à gauche), on doit retrouver ce même groupe. Toujours en 1854, Cayley montre, ce que ses prédécesseurs avaient seulement pressenti, que la structure ainsi définie peut avoir plusieurs représentations; et cela le conduit à la notion d’isomorphisme.

Cayley a introduit des notions permettant une étude plus approfondie des groupes. C’est ainsi qu’il démontre que l’on peut exprimer la structure des groupes finis par plusieurs relations, dites de nos jours relations fondamentales . Dans le même but, il construit en 1854 des tables de multiplication. Ces deux outils ont rendu possible la détermination de différents groupes d’ordre donné; les résultats de Cayley ont suscité de nombreux travaux sur le nombre de groupes différents d’ordre donné.

Bien que très vite les études sur les groupes abstraits se soient considérablement développées, la définition de Cayley devait rester sans écho et Cayley lui-même se contentera par la suite d’une détermination plus intuitive et moins précise de cette structure fondamentale.

Le calcul matriciel

L’étude des systèmes d’équations linéaires conduisit Cayley à celle des déterminants. Dans ses premiers travaux, il établit de nombreuses règles de calcul sur les déterminants, y compris la formule de multiplication des déterminants qui figurait déjà dans les travaux de Cauchy, Binet et Jacobi. À côté d’études originales sur les déterminants, on y rencontre la notion de tableau rectangulaire représentant les coefficients d’un système d’équations linéaires ou les coefficients d’une transformation linéaire; on peut donc soutenir que Cayley avait élaboré la théorie des matrices quelques années avant la publication de son célèbre et si exemplairement clair mémoire de 1858. Dans ce travail, Cayley étudie les matrices rectangulaires à coefficients réels ou complexes; il introduit les opérations sur les matrices et décrit leurs propriétés, y compris le caractère non commutatif de la multiplication. Il s’agit là sans doute de la première apparition de l’algèbre linéaire; aussi les travaux de Cayley ont-il influencé B. Peirce. Quelques années plus tard, Cayley étudiera aussi les systèmes non associatifs (octaves de Cayley, par exemple) et publiera des résultats d’algèbre multilinéaire.

La théorie des invariants

La théorie des invariants est née du développement de la géométrie projective, de la théorie des équations algébriques et de celle des nombres (étude des formes quadratiques). Les travaux de Boole conduisaient à l’étude d’invariants autres que les déterminants, et Cayley s’y attaqua dès 1846. Ses travaux les plus connus sur ce sujet sont ses dix Memoirs on Quantics (1854-1878), où le mot quantics désigne les formes. On doit considérer Cayley comme le fondateur de la théorie des invariants, car il fut le premier à chercher à déterminer le système complet des invariants (et covariants) d’une forme donnée et à appliquer à divers domaines des mathématiques les résultats obtenus; c’est ainsi par exemple qu’il détermina le système complet des invariants d’une forme cubique ou biquadratique. En même temps que Cayley, son ami Sylvester et Charles Hermite s’efforçaient de faire progresser la théorie des invariants; le travail de cette «trinité invariantive» (le mot est de Hermite) fit considérablement progresser cette théorie jusqu’à la fin du siècle où elle prit alors, avec Hilbert, une direction plus abstraite.

La géométrie

Cayley a consacré un grand nombre de ses publications aux problèmes de la géométrie et à l’étude des courbes et des surfaces algébriques. À vingt-deux ans, il émettait l’idée de la géométrie à n dimensions, idée qui fut formulée aussi, presque simultanément mais sous une forme un peu différente, par Grassman. Cayley ne revint que beaucoup plus tard (en 1870) sur l’espace à n dimensions, mais sa méthode algébrique contribua aux importantes découvertes qui eurent lieu dans les autres domaines de la géométrie. C’est ainsi que, dans le Sixth Memoir on Quantics de 1859, il introduit la métrique projective, subordonnant ainsi la géométrie métrique à la géométrie projective; il démontre alors que les notions fondamentales de la géométrie métrique (angles et distances) sont les invariants et les covariants de certaines transformations linéaires de la «quadrique absolue». Dans ce travail, Cayley a donc formulé les idées qui allaient conduire F. Klein à son célèbre programme d’Erlangen.

L’œuvre considérable de Cayley présente de nombreux autres résultats: il introduisit les coordonnées de droites, publia des résultats d’analyse et de mathématiques appliquées et développa considérablement les méthodes graphiques. Mais Cayley est surtout un algébriste et cette prédilection se manifeste même dans ses travaux de géométrie: sa pensée est sans cesse à la recherche d’une généralisation et l’analyse de quelques cas particuliers le conduit à espérer des extensions parfois erronées; les formules algébriques qu’il a établies ont constitué d’importants instruments au service de l’abstraction.

Encyclopédie Universelle. 2012.

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